Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- tanszek:oktatas:infrendalapjai_architekturak:logika_alapjai:bool_algebra_alapjai [2024/11/11 18:24] – knehez
+++ tanszek:oktatas:infrendalapjai_architekturak:logika_alapjai:bool_algebra_alapjai [2024/11/11 18:40] (current) – [Tulajdonságai] knehez
@@ Line 53: / Line 53: @@
 \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \)
+=== Kommutatív ===
+A Boole algebra kommutatív tulajdonsága így írható le:
+\( a + b = b + a \)
+\( a \cdot b  = b \cdot a \)
+=== Elnyelés ===
+Az elnyelési tulajdonság így írható fel:
+\( a + (a \cdot b) \equiv a \)
+\( a \cdot (a + b) \equiv a \)
+=== Disztributív ===
+A Boole algebra disztributív tulajdonsága így írható le:
+\(a+(b \cdot c) = (a+b) \cdot (a+c)\)
+\(a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\)
+=== Komplementer ===
+A komplementer képzés így írható le:
+\( a + \bar a = 1 \)
+\( a \cdot \bar a = 0 \)
+=== Idempotencia/korlátosság ===
+\( a + a \equiv a \)
+\( a + 0 \equiv a \)
+\( a \cdot a \equiv a \)
+\( a \cdot 1 \equiv a \)
+\( a + 1 =1 \)
+\( a \cdot 0 = 0 \)
+=== de Morgan azonosság ===
+A **de Morgan** azonosságokkal összetett negált kifejezéseket bonthatunk fel. Két azonosságot is felírhatunk:
+\( \overline {(a + b)} \equiv \bar a \cdot \bar b  \)
+\( \overline {(a \cdot b)} \equiv \bar a + \bar b \)
+Terjesszük ki az egyenlőséget három változóra:
+\( \overline {(a + b + c)} = (\overline {(a + b) + c}) = \overline{(a+b)} \cdot \bar c = (\bar a \cdot \bar b) \cdot \bar c = \bar a \cdot \bar b \cdot \bar c \)
+\( \overline {(a \cdot b \cdot c)} = \overline{(a \cdot b)} + \bar c = (\bar a + \bar b) + \bar c = \bar a + \bar b + \bar c  \)
+Ezek az azonosságok tetszőleges sok elemre is érvényben maradnak, beleértve a véges, megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálható I indexhalmazok esetét is:
+\( \overline {\sum_{i \in I}A_i} \equiv \prod_{i \in I} \overline {A_i} \)
+\( \overline {\prod_{i \in I}A_i} \equiv \sum_{i \in I} \overline {A_i} \)
+Látható, hogy összetett függvényeket úgy negálunk, hogy a VAGY kapcsolatokból ÉS lesz, az ÉS kapcsolatokból VAGY, és minden változót külön invertálnunk kell.
+Igazoljuk a de Morgan azonosságokat!  Ehhez minden létező kombinációban kiszámítjuk az egyenlet bal és jobb oldalát.
+\( \overline {(a + b)} \equiv \bar a \cdot \bar b \)
+^a^b^\(a+b\)^\( \overline{(a + b)} \)^\(\bar a\)^\(\bar b\)^\(\bar a \cdot \bar b\)^
+|0|0|0|1|1|1|1|
+|0|1|1|0|1|0|0|
+|1|0|1|0|0|1|0|
+|1|1|1|0|0|0|0|
+Igazoljuk a de Morgan azonosságokat!  Ehhez minden létező kombinációban kiszámítjuk az egyenlet bal és jobb oldalát.
+\( \overline {(a \cdot b)} \equiv \bar a + \bar b \)
+^a^b^\(a \cdot b\)^\( \overline{(a \cdot b)} \)^\(\bar a\)^\(\bar b\)^\(\bar a + \bar b\)^
+|0|0|0|1|1|1|1|
+|0|1|0|1|1|0|1|
+|1|0|0|1|0|1|1|
+|1|1|1|0|0|0|0|