This is an old revision of the document!
Boole algebra alapjai
Definíció:
a \( \lbrace0,1\rbrace^n\rightarrow\lbrace0,1\rbrace \) alakú függvényeket Boole függvényeknek nevezzük.
A Boole függvényeket felírhatjuk:
\( y=f(x_1, x_2, ..., x_n) \) alakban. Ezek egy n változós Boole függvényt definiálnak.
A Boole függvényt definiálhatjuk az igazságtáblájával is. Belátható, hogy n bemenet esetén \( 2^n \) sort tartalmazna ez az igazságtábla.
A bemenetek és kimenetek kapcsolatának leírására Boole egyenleteket használhatunk
Legyen n darab bemenet és m darab kimenet. Ennek a rendszernek a leírásához m egyenlet felírására van szükség.
\(y_1=f(x_1, x_2, ..., x_n)\)
.
..
…
\(y_m=f(x_1, x_2, ..., x_n)\)
Differencia egyenletek
A következő felírás sorrendiséget is meghatároz. Egy t+1 időpontban a rendszer állapotát úgy írhatjuk le, hogy azok a bemenő változók és a kimenő változók egy előző, t. időpontban vizsgált értékének a függvénye.
Ezeket az egyenleteket differencia egyenleteknek nevezzük.
\( y^{t+1}_1=f(x_1, x_2, ..., x_n, y^t_1,y^t_2,...,y^t_m) \)
.
..
…
\( y^{t+1}_m=f(x_1, x_2, ..., x_n, y^t_1,y^t_2,...,y^t_m) \)
Tulajdonságai
Asszociatív
A Boole algebra asszociatív - csoportosítható - tulajdonsága így írható le:
\( a+(b+c) = (a+b)+c \)
\( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \)
Kommutatív
A Boole algebra kommutatív tulajdonsága így írható le:
\( a + b = b + a \)
\( a \cdot b = b \cdot a \)
Elnyelés
Az elnyelési tulajdonság így írható fel:
\( a + (a \cdot b) \equiv a \)
\( a \cdot (a + b) \equiv a \)
Disztributív
A Boole algebra disztributív tulajdonsága így írható le:
\(a+(b \cdot c) = (a+b) \cdot (a+c)\)
\(a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\)
Komplementer
A komplementer képzés így írható le:
\( a + \bar a = 1 \)
\( a \cdot \bar a = 0 \)
Idempotencia/korlátosság
\( a + a \equiv a \)
\( a + 0 \equiv a \)
\( a \cdot a \equiv a \)
\( a \cdot 1 \equiv a \)
\( a + 1 =1 \)
\( a \cdot 0 = 0 \)