Institute of Information Science - University of Miskolc

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
===== Számrendszerek =====

A 42 számjegy felépítése a következő: a tízes helyiértéken négyes számjegy szerepel. Az egyesek helyiértékén pedig 2.

Így \( 4 * 10 + 2 * 1 = 42 \) adódik.

A tízes számrendszerben az alapszám 10. Az érvényes számjegyek {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Vegyünk egy bonyolultabb példát:

^számjegy^számjegy^számjegy^tizedes vessző^számjegy^számjegy^
|8|2|4|,|6|7|
|százasok|tízesek|egyesek|,|tizedek|századok|
|\(10^2\)|\(10^1\)|\(10^0\)|,|\(10^{-1}\)|\(10^{-2}\)|

Az egész és a törtrészeket elválasztó szimbólum a tizedesvessző. Az angolszász világban a pontot használják az elválasztásra.

A tizedesvesszőtől balra található a nulladik hely, balra tőle az első és így tovább. A helyek a tizedesvesszőtől jobbra is egyesével csökkennek.

A helyiérték a \( Helyiérték = alapszám^{hely} \) képlettel számítható.

//Részértéknek// nevezzük azt a részt, amit egy-egy számjegy képvisel: 

\( Részérték = számjegy *alapszám^{hely} \)

A szám értékét a részértékek összege adja: \( Szám értéke = \sum{számjegy *alapszám^{hely}} \)

=== Kettes számrendszer ===

A digitális technikában ez a leginkább elterjedt számrendszer.

Alapszáma a 2, a számrendszer számjegyei a {0, 1}. A kettes számrendszer elemeit az angol rövidítésük alapján (binary digit) bit elnevezéssel találod meg. A legnagyobb helyiértékű bitet //Most Significant Bitnek// nevezzük (**MSB**), a legkisebb helyiértékűt //Least Significant Bitnek// (**LSB**) nevezzük.

^számjegy^számjegy^számjegy^számjegy^vessző^számjegy^számjegy^
|1|1|0|1|,|0|1|
|nyolcasok|négyesek|kettesek|egyesek|,|kettedek|negyedek|
|\(2^3\)|\(2^2\)|\(2^1\)|\(2^0\)|,|\(2^{-1}\)|\(2^{-2}\)|

A számérték 8 + 4 + 1 + 1/4 = 13,25.

=== 16-os számrendszer ===

**Tizenhatos számrendszer**ben sokkal tömörebben lehet felírni a számokat, mint kettes vagy tízes számrendszerben.

A számrendszer alapszáma  a 16. A számjegyek: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E; F}.

Nem tévedés, mivel az arab számokból kifogytunk, az angol ábécé hat betűjét is be kellett vetnünk.
Csak a rend kedvéért: A = 10; B = 11; C = 12; D = 13; E = 14; F = 15.

^számjegy^számjegy^vessző^számjegy^számjegy^
|F|4|,|A|3|
|16|1|,|1/16|1/256|
|\(16^1\)|\(16^0\)|,|\(16^{-1}\)|\(16^{-2}\)|

A vesszőtől balra lévő helyiértékek az 1; 16; 256; 4096 és így tovább. A vesszőtől jobbra lévő helyiértékek a 0,0625; 0,00390625.

A tizenhatos számrendszert szokás **hexadecimális** számrendszernek is nevezni. A hexadecimális kifejezés a görög nyelv hexi szavából (jelentése: „hat“) és latin nyelv decem (jelentése: tíz) szavaiból származik.

==== Átváltás 2-es számrendszerbe 10-es számrendszerből ====

<code>
Szám | Hányados | Maradék
-------------------------
42   | 21       | 0  LSB
21   | 10       | 1
10   | 5        | 0
5    | 2        | 1
2    | 1        | 0
1    | 0        | 1  MSB
</code>

Az algoritmus a maradékos osztáson alapul. Vegyük a számot: 42. Osszuk el az alapszámmal, jelen esetben a kettővel. 

Az oszlop bal oldalán a kiindulási szám (42), középen a hányados (21), jobbra a maradék (0). Ezután a középső oszlopból vesszük a hányadost, és az új sorban az lesz a kiindulási szám. És vesszük újra a kettővel való osztással keletkező hányadost, maradékot, stb.

A maradékok oszlopában található a bináris szám, legalul a legnagyobb helyiértékű bit, legfelül pedig a legkisebb helyiértékű bit. Azaz alulról felfelé fogjuk leírni ezt a bináris számot

\( 42 = 101010_{(2)} \)

==== Átváltás 16-os számrendszerbe 2-es számrendszerből ====

Egy tizenhatos számrendszerbeli számjegy 4 bittel írható le. Szóval az átváltáshoz négybites csoportokat képezünk és elkezdjük az átváltást a legkisebb helyiértékek felől.

<code>
0000 => 0  | 0001 => 1   | 0010 =>2  | 0011 => 3
0100 => 4  | 0101 => 5   | 0110 =>6  | 0111 => 7
1000 => 8  | 1001 => 9   | 1010 =>A  | 1011 => B
1100 => C  | 1101 => D   | 1110 =>E  | 1111 => F
</code>

Akkor tehát mi lesz a következő bináris szám 16-os számrendszerben:

''1001110001''

Képezzünk 4 bites csoportokat:

''10 | 0111 | 0001''

A legnagyobb helyiértékű csoport nem adott ki 4 bitet, tegyünk bele helytöltő nullákat:

''0010 | 0111 | 0001''

És olvassuk ki a táblázatból a hexadecimális számjegyeket:

''0010 | 0111 | 0001  => 2 | 7 |  1''

Az eredmény: ''0x271''

Ahol a ''0x'' jelenti a 16-os számrendszert.