Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- tanszek:oktatas:muszaki_informatika:transzformacio [2024/03/16 21:18] – superuser
+++ tanszek:oktatas:muszaki_informatika:transzformacio [2024/03/26 19:11] (current) – [A forgatási mátrixok] knehez
@@ Line 153: / Line 153: @@
 \right]$$
+**Példa:**
+Tegyük fel, hogy szeretnénk 90 fokkal az óramutató járásával megegyezően elforgatni egy pontot (például $P(2,3)$) az $(1,1)$ pont körül. Ehhez az előbb leírt transzformációs mátrixokat fogjuk használni. Az egyszerűség kedvéért a példában szereplő értékeket közvetlenül beillesztjük a mátrixokba.
+**Előkészítés eltolással** hogy a forgatási középpont $(-1, -1)$ legyen, azaz eltoljuk a pontot úgy, hogy a forgatási középpont az origóba kerüljön:
+$$
+T_{eltolás} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
+$$
+**90 fokos forgatás** ($T_{forgatás}$), az origó körül:
+$$
+T_{forgatás} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
+$$
+**Visszatolás** ($T_{visszatolás}$), hogy a forgatási középpont visszakerüljön az eredeti $(1, 1)$ helyére:
+$$
+T_{visszatolás} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
+$$
+A teljes transzformációs mátrix ($T_{teljes}$) kiszámítása:
+$$
+T_{teljes} = T_{visszatolás} * T_{forgatás} * T_{eltolás}
+$$
+A számítás eredménye:
+$$
+T_{teljes} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
+$$
+Most alkalmazzuk ezt a mátrixot a $P(2,3)$ pontra. A $P$ pontot kiterjesztjük egy homogén koordinátájú ponttá, így $P(2,3,1)$ lesz:
+$$
+\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] * \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ -2 + 2 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]
+$$
+Tehát, az eredeti $P(2,3)$ pont 90 fokkal való elforgatása az $(1,1)$ pont körül az új $(3,0)$ pontba transzformálja azt.
+===== A forgatási mátrixok =====
+A 3D-s forgatásokat forgatási mátrixokkal írhatjuk le. Ezek a mátrixok mutatják, hogyan változik egy pont koordinátája a forgatás során.
+==== X tengely körüli forgatás ====
+A következő képlet az X tengely körüli forgatási mátrixot mutatja, ahol \( \theta \) a forgatás szöge: (a forgatás iránya az óramutató járásával ellentétes)
+$$
+R_x(\theta) = \begin{pmatrix}
+& 0 & 0 \\
+& \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
+& \sin(\theta) & \cos(\theta)
+\end{pmatrix}
+$$
+==== Y tengely körüli forgatás ====
+A Y tengely körüli forgatás esetén a forgatási mátrix:
+$$
+R_y(\theta) = \begin{pmatrix}
+\cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\
+& 1 & 0 \\
+-\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)
+\end{pmatrix}
+$$
+==== Z tengely körüli forgatás ====
+Végül a Z tengely körüli forgatás mátrixa:
+$$
+R_z(\theta) = \begin{pmatrix}
+\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
+\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
+& 0 & 1
+\end{pmatrix}
+$$