Institute of Information Science - University of Miskolc

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
===== Koordináták felcserélés =====

A koordináták felcserélését közvetlenül elvégezhetjük a következő 2x2-es mátrix alkalmazásával:

$$
M = \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{matrix}\right]
$$

Ez a mátrix az alábbiak szerint működik:

$$
\left[\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{matrix}\right]

\left[\begin{matrix}
x \\
y \\
\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
y \\
x \\
\end{matrix}\right]
$$

===== Nagyítás és kicsinyítés =====

A nagyítás és kicsinyítés mátrixa az alábbi. Ha $s_x<1$ akkor az $x$ tengely irányába kicsinyítés fog történni, ha $s_x>1$ akkor az $x$ tengely irányába nagyítás. Az $s_y$ esetén is ugyanez a helyzet.

$$
M = \left[\begin{matrix}
s_x & 0 \\
0 & s_y \\
\end{matrix}\right]
$$

**Példa**: nagyítsuk a síkban a pontokat a kétszeresére:

$$
M = \left[\begin{matrix}
2 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{matrix}\right]
$$
===== Síkban eltolás =====

Az eltolás, vagy transzláció, egy geometriai objektum helyzetének megváltoztatása a síkon anélkül, hogy forgatnánk, méreteznénk, vagy torzítanánk azt. Egy pont, vagy egy objektum x,y koordinátáinak eltolásához $t_x$ és $t_y$ értékekkel:
$x$ és $y$ tengelyek mentén, a következő transzformációs mátrixot használjuk:

$$ T = \left[
\begin{array}{cc|c}
  1&0&t_x\\
  0&1&t_y\\
  0&0&1
\end{array}
\right] $$

Ez a mátrix homogén koordinátákat használ, ami lehetővé teszi az eltolások, forgatások és más transzformációk kombinálását egyetlen műveletben. A transzformáció során egy pont P(x,y) homogén koordinátái P(x,y,1) lesznek, és az eltolás utáni koordináták a következőképpen számolhatók ki:

$$
\left[\begin{matrix}
0 & 1 & t_x\\
1 & 0 & t_y\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]

\left[\begin{matrix}
x \\
y \\
1
\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
x + t_x \\
y + t_y \\
1
\end{matrix}\right]
$$
===== Forgatás Mátrixszal, amikor a forgatási középpont nem az origóban van =====

Amikor egy pontot vagy objektumot szeretnénk 90 fokkal az óramutató járásával megegyezően elforgatni egy adott {{:tanszek:oktatas:muszaki_informatika:pasted:20240220-193744.png?50%}} pont körül, a transzformációt három lépésre bonthatjuk:

  - **Eltolás**, hogy a forgatási középpont az origóba kerüljön.
  - **Forgatás** 90 fokkal az óramutató járása szerint.
  - **Visszatolás** a forgatási középpont eredeti helyére.

Ezeket a lépéseket egyetlen 3x3-as transzformációs mátrixszal kombinálhatjuk, amely így néz ki:

    * **Előkészítés eltolással**: $$ T_{eltolás} = \left[
\begin{array}{cc|c}
  1&0&-x_c\\
  0&1&-y_c\\
  0&0&1
\end{array}
\right] $$

    * **90 fokos forgatás**: $$ T_{forgatás} = \left[
\begin{array}{cc|c}
  0&1&0\\
  -1&0&0\\
  0&0&1
\end{array}
\right] $$
 
 
    * **Visszatolás**: $$ T_{visszatolás} = \left[
\begin{array}{cc|c}
  1&0&x_c\\
  0&1&y_c\\
  0&0&1
\end{array}
\right] $$


A teljes transzformációs mátrix, $ T_{teljes} = T_{visszatolás} * T_{forgatás} * T_{eltolás} $, a következőképpen számítható: (figyeljük meg hogy az egyes mátrixok fordított sorrendben vannak szorozva!)

$$T_{teljes} = \left[
\begin{array}{cc|c}
  1&0&x_c\\
  0&1&y_c\\
  0&0&1
\end{array}
\right] 
* \left[
\begin{array}{cc|c}
  0&1&0\\
  -1&0&0\\
  0&0&1
\end{array}
\right]
*
\left[
\begin{array}{cc|c}
  1&0&-x_c\\
  0&1&-y_c\\
  0&0&1
\end{array}
\right]$$

Ami egyenlő:

$$T_{teljes} = \left[
\begin{array}{cc|c}
  0&1&x_c - y_c\\
  -1&0&y_c - x_c\\
  0&0&1
\end{array}
\right]$$

**Példa:**

Tegyük fel, hogy szeretnénk 90 fokkal az óramutató járásával megegyezően elforgatni egy pontot (például $P(2,3)$) az $(1,1)$ pont körül. Ehhez az előbb leírt transzformációs mátrixokat fogjuk használni. Az egyszerűség kedvéért a példában szereplő értékeket közvetlenül beillesztjük a mátrixokba.

**Előkészítés eltolással** hogy a forgatási középpont $(-1, -1)$ legyen, azaz eltoljuk a pontot úgy, hogy a forgatási középpont az origóba kerüljön:

$$
T_{eltolás} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
$$

**90 fokos forgatás** ($T_{forgatás}$), az origó körül:

$$
T_{forgatás} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
$$

**Visszatolás** ($T_{visszatolás}$), hogy a forgatási középpont visszakerüljön az eredeti $(1, 1)$ helyére:

$$
T_{visszatolás} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
$$

A teljes transzformációs mátrix ($T_{teljes}$) kiszámítása:

$$
T_{teljes} = T_{visszatolás} * T_{forgatás} * T_{eltolás}
$$

A számítás eredménye:

$$
T_{teljes} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
$$

Most alkalmazzuk ezt a mátrixot a $P(2,3)$ pontra. A $P$ pontot kiterjesztjük egy homogén koordinátájú ponttá, így $P(2,3,1)$ lesz:

$$
\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] * \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ -2 + 2 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]
$$

Tehát, az eredeti $P(2,3)$ pont 90 fokkal való elforgatása az $(1,1)$ pont körül az új $(3,0)$ pontba transzformálja azt.

===== A forgatási mátrixok =====

A 3D-s forgatásokat forgatási mátrixokkal írhatjuk le. Ezek a mátrixok mutatják, hogyan változik egy pont koordinátája a forgatás során.

==== X tengely körüli forgatás ====

A következő képlet az X tengely körüli forgatási mátrixot mutatja, ahol \( \theta \) a forgatás szöge: (a forgatás iránya az óramutató járásával ellentétes)

$$
R_x(\theta) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
0 & \sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix}
$$

==== Y tengely körüli forgatás ====

A Y tengely körüli forgatás esetén a forgatási mátrix:

$$
R_y(\theta) = \begin{pmatrix}
\cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)
\end{pmatrix}
$$

==== Z tengely körüli forgatás ====

Végül a Z tengely körüli forgatás mátrixa:

$$
R_z(\theta) = \begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$