Table of Contents
Számrendszerek
A 42 számjegy felépítése a következő: a tízes helyiértéken négyes számjegy szerepel. Az egyesek helyiértékén pedig 2.
Így \( 4 * 10 + 2 * 1 = 42 \) adódik.
A tízes számrendszerben az alapszám 10. Az érvényes számjegyek {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Vegyünk egy bonyolultabb példát:
| számjegy | számjegy | számjegy | tizedes vessző | számjegy | számjegy |
|---|---|---|---|---|---|
| 8 | 2 | 4 | , | 6 | 7 |
| százasok | tízesek | egyesek | , | tizedek | századok |
| \(10^2\) | \(10^1\) | \(10^0\) | , | \(10^{-1}\) | \(10^{-2}\) |
Az egész és a törtrészeket elválasztó szimbólum a tizedesvessző. Az angolszász világban a pontot használják az elválasztásra.
A tizedesvesszőtől balra található a nulladik hely, balra tőle az első és így tovább. A helyek a tizedesvesszőtől jobbra is egyesével csökkennek.
A helyiérték a \( Helyiérték = alapszám^{hely} \) képlettel számítható.
Részértéknek nevezzük azt a részt, amit egy-egy számjegy képvisel:
\( Részérték = számjegy *alapszám^{hely} \)
A szám értékét a részértékek összege adja: \( Szám értéke = \sum{számjegy *alapszám^{hely}} \)
Kettes számrendszer
A digitális technikában ez a leginkább elterjedt számrendszer.
Alapszáma a 2, a számrendszer számjegyei a {0, 1}. A kettes számrendszer elemeit az angol rövidítésük alapján (binary digit) bit elnevezéssel találod meg. A legnagyobb helyiértékű bitet Most Significant Bitnek nevezzük (MSB), a legkisebb helyiértékűt Least Significant Bitnek (LSB) nevezzük.
| számjegy | számjegy | számjegy | számjegy | vessző | számjegy | számjegy |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | , | 0 | 1 |
| nyolcasok | négyesek | kettesek | egyesek | , | kettedek | negyedek |
| \(2^3\) | \(2^2\) | \(2^1\) | \(2^0\) | , | \(2^{-1}\) | \(2^{-2}\) |
A számérték 8 + 4 + 1 + 1/4 = 13,25.
16-os számrendszer
Tizenhatos számrendszerben sokkal tömörebben lehet felírni a számokat, mint kettes vagy tízes számrendszerben.
A számrendszer alapszáma a 16. A számjegyek: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E; F}.
Nem tévedés, mivel az arab számokból kifogytunk, az angol ábécé hat betűjét is be kellett vetnünk. Csak a rend kedvéért: A = 10; B = 11; C = 12; D = 13; E = 14; F = 15.
| számjegy | számjegy | vessző | számjegy | számjegy |
|---|---|---|---|---|
| F | 4 | , | A | 3 |
| 16 | 1 | , | 1/16 | 1/256 |
| \(16^1\) | \(16^0\) | , | \(16^{-1}\) | \(16^{-2}\) |
A vesszőtől balra lévő helyiértékek az 1; 16; 256; 4096 és így tovább. A vesszőtől jobbra lévő helyiértékek a 0,0625; 0,00390625.
A tizenhatos számrendszert szokás hexadecimális számrendszernek is nevezni. A hexadecimális kifejezés a görög nyelv hexi szavából (jelentése: „hat“) és latin nyelv decem (jelentése: tíz) szavaiból származik.
Átváltás 2-es számrendszerbe 10-es számrendszerből
Szám | Hányados | Maradék ------------------------- 42 | 21 | 0 LSB 21 | 10 | 1 10 | 5 | 0 5 | 2 | 1 2 | 1 | 0 1 | 0 | 1 MSB
Az algoritmus a maradékos osztáson alapul. Vegyük a számot: 42. Osszuk el az alapszámmal, jelen esetben a kettővel.
Az oszlop bal oldalán a kiindulási szám (42), középen a hányados (21), jobbra a maradék (0). Ezután a középső oszlopból vesszük a hányadost, és az új sorban az lesz a kiindulási szám. És vesszük újra a kettővel való osztással keletkező hányadost, maradékot, stb.
A maradékok oszlopában található a bináris szám, legalul a legnagyobb helyiértékű bit, legfelül pedig a legkisebb helyiértékű bit. Azaz alulról felfelé fogjuk leírni ezt a bináris számot
\( 42 = 101010_{(2)} \)
Átváltás 16-os számrendszerbe 2-es számrendszerből
Egy tizenhatos számrendszerbeli számjegy 4 bittel írható le. Szóval az átváltáshoz négybites csoportokat képezünk és elkezdjük az átváltást a legkisebb helyiértékek felől.
0000 => 0 | 0001 => 1 | 0010 =>2 | 0011 => 3 0100 => 4 | 0101 => 5 | 0110 =>6 | 0111 => 7 1000 => 8 | 1001 => 9 | 1010 =>A | 1011 => B 1100 => C | 1101 => D | 1110 =>E | 1111 => F
Akkor tehát mi lesz a következő bináris szám 16-os számrendszerben:
1001110001
Képezzünk 4 bites csoportokat:
10 | 0111 | 0001
A legnagyobb helyiértékű csoport nem adott ki 4 bitet, tegyünk bele helytöltő nullákat:
0010 | 0111 | 0001
És olvassuk ki a táblázatból a hexadecimális számjegyeket:
0010 | 0111 | 0001 ⇒ 2 | 7 | 1
Az eredmény: 0x271
Ahol a 0x jelenti a 16-os számrendszert.